\EXERCICE{%
\exercice{\'Electrochimie d'une solution zinc/cobalt}
Soit le système:
1 l eau + \numprint{0.2} mol \ce{Zn}(s) + \numprint{0.2} mol \ce{Co^{3+}} 

\begin{questions}
\item Calculer le nombre de mole des solides éventuels et les concentrations
        des espèces dissoutes à l'équilibre.
\item En déduire le potentiel de Nernst du système.
\end{questions}

\begin{donnees}
\item $\Ezero{Zn^{2+} \, {/} \, Zn(s)}   = \numprint{-0.76}$~V 
\item $\Ezero{Co^{3+} \, {/} \, Co^{2+}} = \numprint{1.30}$~V
\item $\Ezero{Co^{2+} \, {/} \, Co(s)}   = \numprint{-0.28}$~V
\end{donnees}
}

\SOLUTION{%
\soluce{\'Electrochimie d'une solution zinc/cobalt}
\reponse{\'Etat d'équilibre}
Le système à l'état initial est
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[baseline={(0,0.5)},every node/.append style={opacity=0.6,text opacity=1}]
\draw[-stealth] (0,-1) -- (0,2)node[above]{\potNernst~(V)};
\draw (-0.1,-0.76) node[left](zn2+){\ce{Zn^{2+}}} -- (0.1,-0.76)node[right](zn){\underline{\ce{Zn(s)}}}node[right=1cm]{\numprint{-0.76}~V};
\draw (-0.1,-0.28) node[left](co2+low){\ce{Co^{2+}}} -- (0.1,-0.28)node[right](co){\ce{Co(s)}}node[right=1cm]{\numprint{-0.28}~V};
\draw (-0.1,1.30) node[left](co3+){\underline{\ce{Co^{3+}}}} -- (0.1,1.30)node[right](co2+high){\ce{Co^{2+}}}node[right=1cm]{\numprint{1.30}~V};
\begin{pgfonlayer}{background}
\draw[red,-stealth] (co3+) to[out=-40,in=0] (0,-1.1) to [out=180,in=220] (co2+high);
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
L'équation-bilan s'écrit donc:
\[
\begin{array}{c}
\left(\ce{Co^{3+} + e- <=> Co^{2+}}\right) \times 2\\
\ce{Zn(s) <=> Zn^{2+} + 2e-}\\\midrule
\ce{2 Co^{3+} + Zn(s) -> Zn^{2+} + 2 Co^{2+}}
\end{array}
\]
Un bilan sur les quantités de matière, en \M:
\[
\begin{array}{c|c@{}c@{}c@{}c@{}c@{\,}c@{\,}c}
             &  \ce{2 Co^{3+}}     & + &  \ce{Zn(s)}    & \ce{<->} & \ce{2 Co^{2+}} & + & \ce{Zn^{2+}} \\\midrule
t=0          &  \numprint{0.2}     &   & \numprint{0.2} &          &   \numprint{0} & & \numprint{0} \\
t            & \numprint{0.2}-2\xi &   & \numprint{0.2}-\xi &      &   2\xi         & & \xi \\
\text{final} & \epsilon            &   & \numprint{0.1} &          & \numprint{0.2} & & \numprint{0.1} \\
\end{array}
\]
\ce{Co^{3+}} est le réactif limitant, à la fin de cette réaction nous obtenons donc la composition suivante:
\begin{center}
\begin{tabular}{lc}\toprule
\ce{Co^{3+}} & n'existe plus\\
\ce{Co^{2+}} & \numprint{0.2}~\M \\
\ce{Co(s)}   & n'existe pas\\
\ce{Zn^{2+}} & \numprint{0.1}~\M \\
\ce{Zn(s)}   & \numprint{0.1}~\M \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}

Ainsi il se passe donc une seconde réaction:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[baseline={(0,0.5)},every node/.append style={opacity=0.6,text opacity=1}]
\draw[-stealth] (0,-1) -- (0,2)node[above]{\potNernst~(V)};
\draw (-0.1,-0.76) node[left](zn2+){\underline{\ce{Zn^{2+}}}} -- (0.1,-0.76)node[right](zn){\underline{\ce{Zn(s)}}}node[right=1cm]{\numprint{-0.76}~V};
\draw (-0.1,-0.28) node[left](co2+low){\underline{\ce{Co^{2+}}}} -- (0.1,-0.28)node[right](co){\ce{Co(s)}}node[right=1cm]{\numprint{-0.28}~V};
\draw (-0.1,1.30) node[left](co3+){\ce{Co^{3+}}} -- (0.1,1.30)node[right](co2+high){\underline{\ce{Co^{2+}}}}node[right=1cm]{\numprint{1.30}~V};
\begin{pgfonlayer}{background}
\draw[red,-stealth] (co2+low.-5) to[out=-30,in=0] (0,-1.1) to [out=180,in=210] (co.185);
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
L'équation-bilan s'écrit donc:
\begin{center}
\begin{tabular}{c}
\ce{Co^{2+} + 2 e- <=> Co(s)}\\
\ce{Zn(s) <=> Zn^{2+} + 2e-}\\\midrule
\ce{Co^{2+} + Zn(s) -> Zn^{2+} + Co(s)}
\end{tabular}
\end{center}
Un bilan sur les quantités de matière, en \M:
\[
\begin{array}{c|c@{}c@{}c@{}c@{}c@{\,}c@{\,}c}
             &  \ce{Co^{2+}}       & + &  \ce{Zn(s)}    & \ce{<->} & \ce{Zn^{2+}}   & +   & \ce{Co(s)} \\\midrule
t=0          &  \numprint{0.2}     &   & \numprint{0.1} &          & \numprint{0.1} &     & \numprint{0} \\
t            & \numprint{0.2}-\xi  &   & \numprint{0.1}-\xi &      & \numprint{0.1}+\xi & & \xi \\
\text{final} & \numprint{0.1}      &   & \epsilon       &          & \numprint{0.2} &     & \numprint{0.1} \\
\end{array}
\]

Cette fois, c'est \ce{Zn(s)} l'élément limitant, la composition finale est donc:
\begin{center}
\begin{tabular}{lc}\toprule
\ce{Co^{3+}} & n'existe plus\\
\ce{Co^{2+}} & \numprint{0.1}~\M \\
\ce{Co(s)}   & \numprint{0.1}~\M \\
\ce{Zn^{2+}} & \numprint{0.2}~\M \\
\ce{Zn(s)}   & n'existe plus\\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}

\reponse{Potentiel de Nernst du système}
Le potentiel est imposé par le couple \ce{Co^{2+} \, {/} \, Co(s)}, donc
\[
\begin{split}
\E{solution} & = \E{Co^{2+} \, {/} \, Co(s)} \\
             & = \Ezero{Co^{2+} \, {/} \, Co(s)} + \frac{\Rgp T}{2 \F} \ln\left(\frac{\ac{Co^{2+}}}{\ac{Co(s)}}\right)\\
             & = \Ezero{Co^{2+} \, {/} \, Co(s)} + \frac{\Rgp T}{2 \F} \ln\left(\conc{Co^{2+}}\right)\\
             & = \numprint{-0.28} + \numprint{0.03}\log_{10}(10^{-1})\\
             & = \numprint{-0.28} - \numprint{0.03}\\
             & = \numprint{-0.31}~\mathrm{V}
\end{split}
\]
}
